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Lie theoryとJacobian 2

Tue, 05 Jan 2021 21:45:53 GMT

Lie群とは？

Lie群とは何かは参考資料のグログに大変わかり易く記載されている。 Lie群とは以下のようなものと理解している。

回転行列といった何かしらの条件を満たす数の集合。
Lie群は多様体上に存在する。
- 2次元の回転行列を例にとって説明する。2次元の回転行列は2x2の行列なので4次元空間に存在する。しかし、2次元の回転の自由度は1なので、4次元空間中のある曲線上(1次元空間)に拘束されるはず。この1次元空間がここでいう多様体。3次元の回転行列ならば回転の自由度は3なので、9次元空間中の3次元空間に拘束されている。この3次元空間がここでいう多様体。
Lie群が存在する多様体は滑らか。どこでも微分可能。
- どこにもエッジやスパイクなど存在せず滑らかな面になっているイメージ。3次元ではないので想像しにくいが。
$X,Y,Z \in \mathcal{G}$ 、X, Y, Zが同じLie群に属しているとき以下の性質を有する。
- Lie群同士の積は同じLie群になる: $X \circ Y \in \mathcal{G}$
- 単位元というかけても同じものになる要素が存在している。単位元を $\mathcal{E} \in \mathcal{G}$ とすると: $\mathcal{E} \circ X = X \circ \mathcal{E} = X$
- 逆元という自分自身にかけると単位元になる要素が存在している。 $X\in \mathcal{G}$ の逆元を $X^{-1}\in \mathcal{G}$ とすると: $X \circ X^{-1} = X^{-1} \circ X = \mathcal{E}$
- 結合則が成り立つ: $(X \circ Y) \circ Z = X \circ (Y \circ Z)$
上記ですでに登場しているが、同じカテゴリのLie群に属す要素ごとの積(上記の $\circ$ 記号)が定義できる。英語だとGroup Compositionと呼ばれる。
- 回転行列と回転行列をかけ合わせると新たな回転行列になるといったことがここに相当する。
- $X \circ Y$ では実際になんらかの演算が行われている。 $X, Y$ を回転行列とすると $\circ$ は行列積になる。もし $X, Y$ がベクトルならば $\circ$ はベクトル和になる。 $\circ$ はLie群の種類によって適切な演算が割り当てられているイメージ。自分はC++などの言語でよくある演算子のオーバーロードとして理解している。
Lie群の定義ではないが、他の対象に作用できるというもの重要なポイント。これは回転行列とベクトルの掛け算でベクトルの方向を回転するといった演算に相当する。英語だとGroup Actionと呼ばれる。上記の積と同様で、作用する対象とLie群の種類によって適切な演算方法が決まっている。回転行列とベクトルならば行列演算といったように。

よく使われるLie群の例

Lie群の例	説明
SO2/SO3	2次元/3次元の回転行列
$\mathbb{R}^n$	実数のベクトル
SE2/SE3	回転と平行移動をまとめて表現する行列。よくロボットやカメラのPoseを表現するのに使われる。
$S^1$	単位複素数。単位円上の一点を表せる。つまり2次元の回転を表現できる。
$S^3$	単位球上の一点を表現できる。

参考資料

Lie theoryとJacobian 1

Tue, 05 Jan 2021 00:00:00 GMT

自分はVisual SLAMを作りたいと思い立ちBasaltのコードを読み始めた。するとなかなか理解できないLie群関係のJacobianがたくさん登場した。これらJacobianを導出するためいろいろと調査した。せっかくなので本ブログにまとめたい。

したがって、本記事ではBasaltに登場する再投影誤差 $\boldsymbol{r}_{it}$ のJacobianを導出するまでを説明したい。

導出するJacobian:

\frac{D \boldsymbol{r}_{it}}{D T_{W C_t}}, \frac{D \boldsymbol{r}_{it}}{D T_{W C_h}}, \frac{D \boldsymbol{r}_{it}}{D _h\boldsymbol{m}_i},

再投影誤差:

\boldsymbol{r}_{it} = \pi ( T_{W C_t}^{-1} T_{W C_h} \boldsymbol{q}({}_h \boldsymbol{m}_i)) - \boldsymbol{z}_{it}

これら式の記号の説明は本文内で行う。

もし、自分の間違った解釈や直したほうが良い表現を見つけた方は本ブログのリポジトリのIssueまで報告いただけるととてもありがたいです。コメント機能は組み込んでおりませんので…。

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Jacobian導出までのロードマップ

初めにBasaltでの問題設定を説明し下記ロードマップに従って書き進めていこうと思う。

Basaltの問題設定

Basaltには以下の特徴がある。

ランドマークの位置はHostFrameで扱われる。HostFrameとはあるランドマークを初めて観測した画像のカメラ座標系のこと。
ランドマーク位置はStereo graphic projectionされて保持される。多くの場合ランドマーク位置は世界座標系の座標として表現されるが、BasaltではHostFrameで表現したランドマーク位置をStereo graphic projectionして保持する。
ランドマークは必ずどれかのフレームにHostされる。このランドマークをHostしていないが観測しているフレームのカメラ座標系をTargetFrameと呼ぶ。

上記特徴からBasaltにおける再投影誤差 $\boldsymbol{r}_{it}$ は以下のような式で表現される:

\boldsymbol{r}_{it} = \pi ( T_{W C_t}^{-1} T_{W C_h} \boldsymbol{q}({}_h \boldsymbol{m}_i)) - \boldsymbol{z}_{it}

記号の説明:

$\boldsymbol{r}_{it}$ : ランドマーク $i$ をTargetFrame $t$ にて観測したときの再投影誤差。
$\pi(\boldsymbol{p})$ : TargetFrame $t$ で表現された位置 $\boldsymbol{p}$ をTargetFrameの画像平面に投影するカメラモデルを表現する関数。
$T_{W C_t} \in SE(3)$ : TargetFrameから世界座標系への座標系変換。 $_{C_t}\boldsymbol{p}$ 、 $_{W}\boldsymbol{p}$ をそれぞれTargetFrame、世界座標系で表現した位置 $p$ とすると、 $_{W}\boldsymbol{p} = T_{W C_t} \ _{C_t}\boldsymbol{p}$ が成り立つ。
$T_{W C_h}$ : HostFrameから世界座標系への座標系変換。
$\boldsymbol{q}(\boldsymbol{m})$ : Stereo graphic projectionされたランドマーク位置 $\boldsymbol{m}$ をHostFrameにおける３次元位置に変換する関数。Stereo graphic projectionの逆関数。
$_h \boldsymbol{m}_{i} = [u,v,d_{inv}]^T$ : Stereo graphic projectionされたランドマーク位置。３次元位置をStereo graphic projectionすると二次元の平面に展開されるため、位置の情報は残らず方向しかわからない。そこで、 $d_{inv}$ として距離の逆数も保持している。
$\boldsymbol{z}_{it}$ : ランドマーク $i$ をTargetFrame $t$ にて観測したときの画像上位置。

こういった再投影誤差を考えているためGaussNewton法などでカメラPoseやランドマーク位置を推定するためには下記のJacobianを計算する必要がある。

$\frac{D \boldsymbol{r}_{it}}{D _h \boldsymbol{m}_i}$ : Stereo graphic projectionしたランドマーク位置 $_h\boldsymbol{m}_i$ についての再投影誤差のJacobian
$\frac{D \boldsymbol{r}_{it}}{D T_{W C_t}}$ : TargetFrameについての再投影誤差のJacobian
$\frac{D \boldsymbol{r}_{it}}{D T_{W C_h}}$ : HostFrameについての再投影誤差のJacobian

First post

Mon, 04 Jan 2021 00:00:00 GMT

初ブログ作ってみました。構成はGatsby + Netlifyです。一つ以上の記事カードイメージを設定しないとエラーが出ました。ひとまず仮のカードを設定しています。

以下サンプル

#include <iostream>
int main(){
    int a,b
}

a + b + c = d